エスブレイン

いよいよ2進数の山場です。

やっぱり、マイナスの値（負数）を表現できないと、計算ではこまりますよね。

普段私たちは「ー」という記号を使って表現します。

５のマイナス値はー５となります。

2進数でも「ー」という記号を使って負数を表現することはできます。

例えば１０b（2進数の１０と言う意味です）であれば、ー１０bとすればよいのです。

ところが、コンピュータは０と１しか使えないという制限があるため、「ー」という記号を追加することができないのです。

こんなにもコンピュータと言うのは融通が利かないのかと腹を立てる人もいるかも知れませんが、どうしようもありません。

では、０と１だけで”どうやって”負数を表すのか？　実はトリックがあるのです。

10進数の世界では、４４に５６を加えると１００になります。

この時、「私たちは2桁の数字までしか考えない」と宣言すれば、１００のうち2桁の数字は「００」つまり０となります。

「正の数字同士を足したのに０になる」

これがトリックです。

４４は正の数ですが、５６は実はー４４と考えるのです。

編に深く考えないでください。ー４４を数字だけで表現すると５６となると決めただけです。

では、なぜ５６か？

先ほどの足し算の式を入れ替えると、

１００ー４４＝５６

となります。これがトリックの中身です。

１００は「０」としたのですから、上の式は次のように表すことができます。

０ー４４＝５６

５６は４４より大きい数なのに、ー４４と同じ意味になるというトリック。

ある基準の数字（この場合は１００）からどれだけ足りないかという表現方法を「補数」といいます。

つまり、４４の１００の補数は５６なのです。

納得出来ないですか?

数字遊びと同じです。そのように「扱う」と遊びのルールを決めただけのことです。

トランプゲームのブラックジャックのように、Aを１か１１として扱えるルールみたいなものです。

ただし、補数にはもう1つのルールがあります。

扱える数字の範囲が制限されるのです。

１００を基準に考えると、正の数50種類と負の数50種類の計１００通りが扱えることになり、
ー５０〜＋４９までの数字（０を含めて１００通り）しか使えません。
負数の補数表現の表をご覧ください。

表現したい数字	表現したい数字	補数表現
-1	99
-2	98
-3	97
-4	96
-5	95
-6	94
-7	93
-8	92
-9	91
-10	90
-20	80
-30	70
-40	60
-50	50

この様に、ー１〜ー５０までの５０通りを５０〜９９で表現し、０〜４９までの50通りを０〜４９（そのまま）で表現するのです。

「９９」はー１となるという考えは、皆さんの生活では扱いにくいかもしれませんが、

コンピュータによってはとても助かるのです。

「引き算」という考えを捨てることができるからです。

ー１＋１０と言う式は、補数表現では９９＋１０となります。

結果は１０９ですが、下2桁しか取りませんから、９となり計算はあっています。

ー５０〜＋４９までの範囲内というルールの中では、引き算は不要となるのです。

ただし、掛け算は注意が必要です。２０x20という式は、それぞれ範囲内ですが、

計算結果の４００は範囲外ですから、計算できないことになります。

これもルールです。では、実際のコンピュータはどうしてるかって？

基準となる数字が十分大きければ問題ないのです。

最近のコンピュータは32ビットが基本ですから、基準となる数字は２３２乗つまり4,294,964,296を基準にします。

すると、-2,147,483,648〜+2,147,483,647までの数字が扱えるのです。

約21億まで扱えれば、普通の計算であれば問題ないはずですよね。

まだ足りない？

そんな時は、６４ビットで計算するのです。CPUは32ビットでも、６４ビットで計算できるのです。

ちなみに、６４ビットでは18,446,744,073,709,551,616を基準にしますので、

ー9,223,372,036,854,775,808〜＋9,223,372,036,854,775,807までの数字が扱えます。

これなら足りるでしょ?

という途方もない数字の後に恐縮ですが、コンピュータが扱う2進数で表すとどうなるのでしょうか?

１バイト（8ビット）を基準に考えてみます。

８ビットは２の8乗ですから、２５６種類、ー１２８〜＋１２７までの数字が扱えることとなります。
2進数でのこのルールを「2の補数」表現と呼びます。

10進数の数字	256の補数	2の補数表現
-1	255	11111111
-2	254	11111110
-3	253	11111101
-4	252	11111100
-5	251	11111011
-6	250	11111010
-7	249	11111001
-8	248	11111000
-9	247	11110111
-10	246	1110110
-127	129	10000001
-128	128	10000000

この様に、2の補数表現を用いることで０と1だけでも負の数を表すことができるのです。

ただし、ここで注意が必要です。11111111bとだけ書かれている場合に、「ー１」なのか「＋２５５」

なのかは、判別できないということです。

したがって、2の補数表現なのか、絶対値表現（常に正の数）なのかはあらかじめルールとして

決めておく必要があります。

ここが重要ですので、よく覚えておいてください。

2の補数表現で記載した負の数を見ると、1つ特徴があります。

一番上位のビットが必ず1なのです。

よって、2の補数表現の数字は、見た目で負数か正数かが判断できて、便利です。

今日はここまで。

(参考）

2の補数表現では、一番上位のビットが１か０かで正負が分かりました。

それなら、上位1ビットを符号ビット（正負）として考えれば、

わざわざ２５６から引かなくても良いのではないかと考える方もいらっしゃるでしょう。

その通りです。

ルールとして、上位1ビットを符号ビットとして、以下7ビットは絶対値として書けば、

-127〜+127まで表現できます。この方が人にはわかりやすいです。

ー１は10000001bとなります。

ー１２７は11111111bとなります。

この表現方法を「１の補数」表現と呼びます。

非常にわかりやすいですね。

ですが、コンピュータにとっては面倒なのです。

まず、-0と+0が存在してしまいます。

つまり00000000bと10000000bです。

そして、計算する時には先頭の1ビットを見て、足し算か引き算かを判断し、計算しなければなりません。

2の補数表現では、何も考えずに足し算すれば計算できます。

1の補数表現は計算の手順が増え面倒なのです。

こんな理由から、現在のコンピュータでは負数を表現するのに、2の補数を用います。

ただし、本日の重要ポイントのとおり、2進数の数を絶対値（正の数のみ）で扱うか、2の補数表現で

扱うかは、使う人（つまりあなた）の自由ですよ。

admin プログラミング講座 2進数

2進数とは０と１で出来ていることは、ここまでの講義を受講された方はお分かりのことだと思います。

そろそろコンピュータ寄りの内容にしていきましょう。

いきなり結論ですが、現在一般的に使用しているコンピュータは０と１しか使えません。

究極な2進論者です。

じゃあ、文字や画像や数字の「ー」はどうするんだ？という疑問が出てくれば、筆者は嬉しいです。

「それでもコンピュータは０と１しか使えない」

ガリレオの名ゼリフのようにはいきませんが、これは絶対の制限なのです。

しっかりと覚えておいてください。

そろそろ本題です。

電卓もコンピュータです。しかも0と1しか使えません。

しかし、10進数の計算をすることができます。

実は2進数と10進数はお互いに変換することができます。（一部を除いては・・・）

この作業を基数変換と言います。

ますは、2進数から10進数の変換。

ある2進数の数字を１１０１bとします。

bとは、2進数の数字であると、わかりやすくするための記号です。コンピュータの中では使用されません。

あくまで、人が10進数と間違えないようにする記号です。

先ほどの数字を10進数に変換します。

1. 1桁目に１を掛けます。
2. 2桁目に2を掛けます。
3. 3桁目に4を掛けます。
4. 4桁目に8を掛けます。
5. 上4つの計算で出た数字を足します。

これで10進数の数字になります。

つまり、（１x１）＋（０x2)＋（１x４）＋（１x8)＝１３です。

１０１１bは１３なのです。

4ビットの2進数をすべて10進数にしたものが以下の表です。

1. 0000b = 0
2. 0001b = 1
3. 0010b = 2
4. 0011b = 3
5. 0100b = 4
6. 0101b = 5
7. 0110b = 6
8. 0111b = 7
9. 1000b = 8
10. 1001b = 9
11. 1010b = 10
12. 1011b = 11
13. 1100b = 12
14. 1101b = 13
15. 1110b = 14
16. 1111b = 15

5ビット以上の2進数はどうやって変換すればよいのでしょうか?

さきほどの変換方法を見ると、１つ桁が増えると2を掛ける数が１つ増えることが分かります。

「ｎ桁目の変換には２の（ｎー１）乗を掛ける」　（ｎは1以上の数字）

と言うのが正しいです。

5桁目であれば２の４乗となり、２x2x2x2＝１６です。

ちなみに0乗は１です。

これだけ覚えておけば、2進数から10進数への変換はできます。

では、10進数から2進数の変換です。

小さな数であれば、上の変換表を見て変換することも出来ますが、大きな数字の場合どうでしょうか？

この様な場合、割り算をして変換を行います。

たとえば、２３４を2進数に変換してみましょう。

元の10進数の数字を、０になるまでひたすら2で割ります。その時の余りを記録します。

２３４÷２＝１１７　（余り０）

１１７÷２＝　５８　（余り１）

５８÷２＝　２９　（余り０）

２９÷２＝　１４　（余り１）

１４÷２＝　　７　（余り０）

７÷２＝　　３　（余り１）

３÷２＝　　１　（余り１）

１÷２＝　　０　（余り１）

この式の余りの部分をしたから上に書いたもの、つまり１１１０１０１０が、２３４の2進数です。

軽く騙されてるような気分ですよね。

では、逆に2進数から10進数に変換し直して、正しいかどうか確認しましょう。

それぞれの桁に２のｎー１乗を掛けてすべてを足します。

（０x１）＋（１x２）＋（０x4)+(1×8)+(０x1６）＋（１x32)＋（１x64)＋（１x128)

どうですか？

２３４になりましたよね？

2進数と10進数の変換はこれで完成です。

何かすっきりしない人は以下を読んでください。

（基数変換の考え）

現在私たちが使う数字は位取り記数法という法則を使っています。

前にお話ししたとおり、ある基数の種類の記号を使って表現し、数があふれると桁を増やす方法です。

10進数であれば、０〜９までの10種類の記号を使い、９の次には1桁増やして１０となります。

10種類の記号のことを底と言います。

2進数であれば、０と１を底と呼びます。

そこで、ある数を桁毎に分解してみます。

１２３４と言う10進数の数字は　１x10^３ ＋　２x１０^２ ＋　３x10¹ +　４x１０^０ と分解できます。

基数変換とは、使っている記号を変えるだけのことです。

この話の時だけ、2進数の記号を０＝○,１＝■と置き換えます。（こうしないと、理解しにくいのです）

上の例で使用している数字は、０、１、２、３、４、１０です。

これを2進数（AB表記）で表すと、それぞれ○、■、■○、■■、■○○、■○■○となります。

（10進数の１０は2進数では１０１０bですよね？　だから■○■○となります）

１x10^３ ＋　２x１０^２ ＋　３x10¹ +　４x１０^０

は2進数表記にすると以下になります。

■x■○■○^■■ + ■○x■○■○^■○ + ■■x■○■○^■ + ■○○x■○■○^○

■○■○の○乗は、■です。

■○■○の■乗は、■○■○です。

■○■○の■○乗は、■○■○を2乗することですから、計算してみましょう。

よって、■○■○の■○乗は■■○○■○○です。

■○■○の■■乗は、■■○○■○○に、さらに■○■○を掛けたものです。

よって、■○■○の■■乗は、■■■■■○■○○○です。

やっと準備が出来ました。これを先ほどの式から計算していきます。

■x■○■○^■■ + ■○x■○■○^■○ + ■■x■○■○^■ + ■○○x■○■○^○

＝■x■■■■■○■○○○　＋　■○x■■○○■○○　+　■■x■○■○　＋　■○○

＝■■■■■○■○○○　+　■■○○■○○○　+　■■■■○　+　■○○

＝■○○■■○■○○■○

10進数の１２３４は、2進数では■○○■■○■○○■○となるのです。

０と１にすると、１００１１０１００１０bです。

この様に、表現する記号を置き換えることが基数変換なのです。

このやり方は、どんな基数への変換でも同じです。

ただ、この方式は計算が面倒なので、実際には使いません。

スッキリしましたか?

admin プログラミング講座 2進数